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直觉主义下数学哲学引申意义

来源:职称阁分类:教育论文 时间:2019-09-06 13:56热度:

  直觉主义下数学哲学与传统数学对数学对象的概念是不同的,为此研究直觉主义下数学哲学的引申意义。直觉主义强调的是构造性数学,基于一种哲学主张由哲学本源与心智结合而成的数学哲学思想。直觉主义重新构造了数学的定义,强调数学的可构造性,认为数学对象是由人类逻辑思维和心理构造而成的,但直觉主义下的数学哲学是难以逾越理论障碍的。

直觉主义下数学哲学引申意义

  关键词:直觉主义;可构造性;数学对象;心理构造

  在传统的数学中有许多其他数学对象的概念,比如无理数,是数学概念中被统一规定的。传统数学对数学对象的规定方式不同,是在传统数学中不可证明的事物研究,同时也是形而上学学科中被诟病的原因。数学哲学是非形而上的一种替代物,直觉主义强调的是构造性数学,是一种由人类逻辑思维和心理构造而成的。如何判断一个数学对象的存在,主要在于心灵构造的过程。在证明数学命题的真假中寻找相应的心灵构造,即为直觉主义下的数学哲学。

  一、构造数学哲学观

  直觉主义是西方的一种数学哲学观,是基于一种哲学主张由哲学本源与心智结合而成的数学哲学思想。直觉主义的代表人物有荷兰数学家布劳威尔,布劳威尔曾经在论文中阐述过直觉主义的观点,表示欧氏几何是先天综合判断的观点,数学则是存在自觉的基础上构造的。布劳威尔认为数学是非构造性的存在,是依据时间知觉构造而成的。直觉主义重新构造了数学的定义,强调数学的可构造性,对数学领域的限制比较大,否认了一部分的古典数学定理,与其哲学理念是相互违背的。直觉主义下的数学哲学开辟了一种数学领域的能行性研究,推进了与构造性数学之间的发展。同时在计算机领域方面有了新的发现,推动了计算机在科学领域的发展意义。直觉主义者曾经在数学本体论中否认超验数学的存在,认为超验数学是一种概念论,存在的数学实体比较抽象,是由人类思维活动创造而成的。直觉主义者认为数学构造是最基本的思维运算,不依赖任何的主体具有一定的客观性。在直觉主义当中数学是被看成一种带有逻辑思维,与词语规则相互联系的数学哲学。将直觉主义中的逻辑思维归结为数学中的一种,数学思想并不只是数学交流的工具,而是与数学直觉之间的沟通认知。以沟通的主体构造为中心创建与数学对象之间的联系,但与客观世界并没有任何的关系。直觉主义否认了数学认识论的真理客观性,主张与心智构造相关的数学哲学。数学只是研究人类心智的一种机能,不用通过任何的语言交流只依靠心智构造形成的数学思维活动。不过直觉主义下的数学哲学是难以逾越理论障碍的。

  二、增加数学哲学认知

  直觉主义下的数学哲学强调数学认知的一种心灵构造,是与其他学派与众不同的地方。传统数学的观点与直觉主义下的数学哲学认知是不一致的,直觉主义者认为之所以数学与逻辑思维颠倒是因为集合论中的错误认知,正是由于错误的认知才造成逻辑学和数学中的矛盾命题。将布劳威尔的观点作为数学思想的研究,在经典逻辑中有限的集合和子集是抽象出来的。许多数学家忘记了有限的来源,将错误的逻辑思维看做数学理念中的其中一种,没有经过验证的经典逻辑被应用到了数学中的无穷集中,这就是集合论中错误的源头。直觉主义分析了经典逻辑中符号的含义,哪一部分是经典逻辑符号符合正常的观点,哪一部分是逻辑思维原则中允许的。在数学直观的要求下,直觉主义的数学哲学与传统数学中的经典逻辑符号和逻辑规则是不同的,在一些基本问题上的理解上存在一定的差异。

  三、验证数学对象

  荷兰数学家布劳威尔曾经提到过,直觉主义下的数学哲学强调的是数学对象与语言无任何联系的心灵构造。与数学帕拉图主义不同,不会预设独立的先天数学理念。不过人们对于数学的认知对象是什么?直觉主义者认为数学对象是由心灵构造而成的,而传统数学的数学对象是经典逻辑中构成的,显然这两种概念都需要更进一步的论证。直觉主义中的心灵构造指的是一种心灵活动,当一个人受到外界的刺激时身体会做出反应,会通过神经系统产生心理条件反射。比如在烫伤时会有灼伤的疼痛反应。不同的人会有不同的心理反应,身体敏感的人与正常人的反应是不同的。心理学对这种反应的解释是出于人类的心理活动,人的心理活动是不同的,感知外界的事物也是不同的。比如同样的温度,人的感知反应是不一样的,同样也无法感知其他人的感受。同一个人对前后两次的反应也是不同的。直觉主义下的数学哲学就是这种类型的心灵活动。直觉主义的心灵构造与心理学上的构造不同,不是某一特定的心理活动,而是独立的心理活动。在讲述直觉主义数学时提到过人的心灵构造和心灵活动是不同。心理学上时间性活动是无法重复心灵活动过程的,所以在直觉主义下的数学是没有任性理性部分的,比如受时空限制出现错误等。直觉主义对心灵构造的方式有严格的说明,对数学连续性的心灵构造解释是有别于其他传统数学。在传统数学的逻辑思维中排中律是受到认可的,但在直觉主义下的数学主义不同于传统数学对排中律的认识。排中律在传统数学的形式逻辑中被广泛应用。荷兰数学家布劳威尔强调直觉主义的心灵构造,验证真实性后对传统逻辑中的排中律产生了一定影响,而其他矛盾律并没有受到挑战。经典逻辑中的排规律命题与其他命题不同,注重事物存在的真假和对形而上学中的预设,直觉主义的数学哲学是排斥排中律形式逻辑的,作为拒绝形式逻辑的基本规则之一。

  四、检验数学哲学逻辑

  直觉主义下的数学哲学认为直觉与逻辑思维是相互关联的,在数学哲学中有一种必然性,主要是用于指导、观察和实验的,上述表现为逻辑必然性的一种。将这些相对难以证实未能确定的东西称为直觉。在科学当中直觉有两种含义,第一个是人类通过对外界事物感知的表象,获得的感觉和直觉称为感性直觉。第二个是人类通过逻辑思维对事物本质的一种直观感受,称为理性直觉。直觉主义下的数学直觉是一种理性直觉,相比科学直觉来说相对抽象。荷兰数学家布劳威尔说这是很难用语言形容的感觉。几何学的某种整体主义观点秉持着经典逻辑中的数学逻辑,认为几何学是具有一定约定性的。几何学不用直接面对其他数学学派的考验,只是单纯地将几何学和物理学结合起来,只有将其视为一个整体时才需要面对检验。荷兰数学家布劳威尔对于算数和分析秉持着直觉主义观点,主张人类逻辑的心灵构造。不过在数学归纳法中在直观逻辑思维方法不是简单的归结,而是需要统一的逻辑思维法。在有限的数学理念中限定其中的概念,强调数学对象的构造性。逻辑思维法还有一种理解,主要强调数学直觉不过只将其看作发明的工具。彭加勒认为人类有很多种直觉,主要分为两种,一种是纯粹的直觉,另一种是数学次序的直觉。而这两种感觉都在于直观主义者的直觉。彭加勒认为这两种直觉都是有必要的,纯粹直觉和数学次序的直觉发挥着不同的作用,处于两种不同的心灵活动,可以引导人类进入相互来往的两个世界。彭加勒善于发明和创造,所以他更倾向第二种直觉,如果人类只用纯粹的直觉感知会觉得不知所措,所以并没有人觉得直觉是数学中必不可少的工具。直觉的感知是存在漏洞的,没有一定的规则可循也不能作为可靠性的依据。因此彭家勒并没有排斥逻辑在数学哲学中的地位,将两者的直觉结合起来发挥有效的作用。在直觉逻辑当中只有直觉是作为证明的工具,从更宏观的角度来说大脑的左脑和右脑是分工合作的,左脑和右脑的直觉功能是不一样的,这点彭加勒有了合理的认识。

  五、解析数学哲学理念

  在科学逻辑当中直觉主义下的数学哲学会影响直觉产生的作用,认为直觉在数学中起到发明和推理的作用。用直觉主义推翻发明和推理的认知,彭加勒和荷兰数学家布劳威尔明确肯定了直觉是数学创造和发明的主要工具。剖析数学哲学中的许多程序,解析这些程序的可靠性,为其他直觉主义者开辟了不同的道路。直觉主义下的数学哲学认为只要有信心就可以突破任何的障碍。直觉主义可以将我们引向正确的目标,指引我们哪一个数学理念是正确的。只要凭借直觉就可以辨认和选择出正确的逻辑思维,通过提供的组合和结构辨别事物的真伪。直觉是判别事物真假做出明智选择的工具,这两位直觉主义者都没有否认直觉主义在数学哲学中的地位,应用纯粹直觉和数学次序的直觉进行发明和创造。纯粹的直觉和逻辑思维会引导和启发直觉主义者的思想观念,借助直觉去观察逻辑数学,会发现不同于他人的逻辑思维。在数学逻辑思维当中或多或少都是与直觉有关的。直觉主义下的数学哲学在数学教学中占有重要的地位,可以培养学生应用的能力,如果没有直觉是无法理解数学哲学的逻辑思维的,如果没有直觉学生也不会有应用数学的能力,可以在教学中适当地加入直觉主义的观点,体会直觉主义下数学哲学的不同之处,并且在教学系统中直觉主义获得了一定的进展。

  六、数学哲学的界定

  直觉主义下的数学哲学是存在界定的,意味着当一个词有许多种解释和意义,但并不互相矛盾。数学中自相矛盾是没有任何逻辑的寻找,且无法构造数学基础的逻辑,获得的结果并未得到验证或者无验证的意义。直觉主义下的数学基础是不一样的,是通过数学归纳法体现出来的。为了证明这一点,彭加勒利用了数学系统中形式化方面的工作进行验证,指出了几何学的假定是相互矛盾的,但是不能在预设的前提先进行验证。直觉主义对心灵构造的方式有严格的说明,对数学连续性的心灵构造解释是有别于其他传统数学的。直觉主义的心灵构造与心理学上的构造不同,不是某一特定的心理活动,而是独立的心理活动。直觉主义推翻发明和推理的认知,彭加勒和荷兰数学家布劳威尔明确肯定了直觉是数学创造和发明的主要工具,认为纯粹的直觉和逻辑思维会引导和启发直觉主义者的思想观念,直观主义者可以凭借直觉去观察逻辑数学,寻找不同于他人的逻辑思维。在数学逻辑思维当中或多或少都与直觉有关。

  参考文献:

  [1]樊岳红.维特根斯坦数学哲学意义之辨析[J].山西大学学报(哲学社会科学版),2017,40(6).

  [2]胡瑞娜,梁亚飞.奎因数学哲学思想的语境化特征及意义[J].教育界(高等教育研究),2017,12(11).

  作者:李列 单位:江苏联合职业技术学院无锡机电分院

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文章名称:直觉主义下数学哲学引申意义

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